Расчёт балки на прогиб

Способы укрепления перекрытий

Увеличить несущую способность балок межэтажных перекрытий можно двумя путями: усилив или разгрузив их.

Усиление балок

Способов, как усилить балки перекрытия второго этажа, несколько.

Увеличение сечения деревянными накладками.

Наиболее эффективным решением станет наращивание сечения балок по нижней горизонтальной плоскости с обязательным условием создания опоры для накладок. Для этого нужно либо углубить опорные гнезда в несущих стенах, либо использовать специальные стальные крепления или уголки. Доски расчетной толщины прибиваются к нижней грани бруса по всей его длине.

Опорный уголок из оцинкованной сталиИсточник i.ytimg.com

При незначительном прогибе возможно наращивание сечения путем установки на балку боковых накладок толщиной 50 мм. Перед этим под точку её максимального прогиба устанавливают подпорку и поднимают её домкратом до выравнивания бруса. Затем фиксируют его в этом положении, установив с обеих сторон доски и стянув их шпильками.

Укрепление боковыми накладкамиИсточник i.ibb.co

Видео описание

Как выполняется усиление стальным швеллером, показано в видеоролике:

Армирование углепластиком.

Полотно из этого современного композитного материала, наклеенное в несколько слоев, позволяет очень качественно решить задачу, как усилить балку перекрытия из дерева. Приклеивают углепластик эпоксидным клеем, перекрывая стыки полос поперечными слоями. После застывания клея он превращается в прочный и жесткий каркас, практически не уступающий металлу и отлично противостоящий нагрузкам.

Достоинство этого способа в простоте монтажа и отсутствии необходимости в монтажных инструментах.

Углеволокно используют для усиления самых разных конструкцийИсточник u10.filesonload.ru

Протезирование стальной арматурой.

Этот способ больше подходит для тех случаев, когда у балок повреждены торцы, что часто происходит при их некачественной гидроизоляции в опорных гнездах. Их заменяют протезами из спаренных ферм, изготовленных из стальной арматуры сечением не менее 10 мм.

Перед тем как укрепить потолок в доме с деревянными перекрытиями, под поврежденную балку устанавливают временную поддерживающую опору и разбирают перекрытия снизу и сверху на 1,5 метра от стены.

Сгнивший торец срезают, а в проем вертикально вводят протез. Затем его разворачивают, устанавливая в горизонтальное положение и надвигая на балку, после чего свободный конец задвигают в опорное гнездо в стене. Скрепляют протез с балкой гвоздями.

Схема установки стального протезаИсточник i.ibb.co

Перераспределение нагрузки

Уменьшить нагрузку на несущие лаги можно, установив под них опоры либо смонтировав под перекрытием дополнительные балки.

Монтаж промежуточных опор или подкосов.

При этом способе нагрузка через опоры частично передается на нижележащие перекрытия или боковые стены, поэтому предварительно нужно убедиться в том, что они её выдержат. Он редко используется для укрепления перекрытий второго этажа, так как стойки и подкосы трудно вписать в интерьер первого этажа, к тому же они создают неудобства для передвижения по комнате. Но это лучшее решение, как усилить лаги пола от прогиба в деревянном доме.

В качестве опор для лаг выступают столбики из блоков или бетонаИсточник 3.bp.blogspot.com

Монтаж дополнительных балок.

Чем больше лаг, на которых лежит перекрытие, тем меньшая нагрузка приходится на каждую из них. Установив дополнительные брусы подходящего сечения между существующими, можно не только снять с них лишнюю нагрузку, но и увеличить общий вес перекрытия. Который складывается из веса утеплителя, напольного и потолочного покрытия, мебели, техники и находящихся на этаже людей.

Коротко о главном

Половые лаги и балки перекрытия между этажами могут оказаться недостаточно надежными из-за ошибок, допущенных при строительстве дома, а также вследствие старения древесины, её порчи, увеличения нагрузки на несущие конструкции. Они начинают прогибаться, что со временем может привести к обрушению перекрытий. В таких случаях необходимо срочно решать, как усилить пол в деревянном доме. Для этого применяют разные способы: укрепляют балки деревянными и металлическими накладками, армируют углеволокном, устанавливают стальные фермы и вертикальные подпорки или увеличивают количество лаг. Какой из них выбрать, решают в индивидуальном порядке в зависимости от трудоемкости способа, его стоимости, необходимости демонтировать внутреннюю отделку.

Источник

Табличные данные

Анализ статистики и расчеты на основании данных о нагрузочной способности древесины хвойных пород (усредненной) позволили составить таблицу расстояний между лаг, вывести связь между толщиной досок (плит) настила и шагом опорных брусьев.

Важно: если проходимость комнаты повышена или планируется установка тяжелой мебели (оборудования), необходимо делать поправку. При этом увеличивается толщина половой доски, как и сечение брусьев, а размер между лагами уменьшается

Для устройства пола на твердом (железобетонная плита) основании принимается минимально допустимое сечение брусьев и максимальное расстояние между ними. При создании настила в каркасном или деревянном доме учитывается не только полезная нагрузка на настил, но также собственный вес конструкции – брусьев, чернового настила, тепло-, звуко- и гидроизоляции, чистовой отделки.

Применение деревянных ферм, достоинства и недостатки

Фермы перекрытий, выполненные из дерева, выглядят, как два параллельно находящиеся друг над другом бревна или бруска, которые соединены между собой опорами, находящимися по отношению к этим бревнам или брускам под углом или вертикально. Основная задача, которую решают фермы — это перекрытие длинных пролетов, если монтаж дополнительных опорных стоек невозможен.

Для изготовления ферм применяются разработанные таблицы и программы, где учитываются тип соединений, шаг монтажа, сечение деталей конструкции и ее общие габариты. Зачастую, фермы изготавливаются промышленным способом с применением высокоточного оборудования. Наряду с этим, можно изготовить ферму своими руками.

Деревянные стропильные фермы

Сравнивая деревянные балки и фермы перекрытий можно определить достоинства и недостатки, которыми обладают фермы. К преимуществам можно отнести:

• способность накрыть пролет значительного размера без дополнительных опорных стоек;
• незначительную массу, что влечет за собой небольшую нагрузку на несущие элементы здания;
• высокая прочность и неподатливость к прогибам, что влечет за собой длительную эксплуатацию подшивочного и напольного материалов;
• простота монтажа на любые несущие элементы здания, независимо от материала, из которого они изготовлены;
• возможность изменять ширину шага укладки фермы;
• возможность монтажа внутренних коммуникационных линий;
• прекрасная звуковая изоляция;
• красиво выполненные фермы можно не зашивать и использовать как элемент декора.

Деревянные фермы могут послужить оригинальным декоративным элементом

Кроме достоинств, фермы обладают некоторыми недостатками, к которым можно отнести следующие:

• за счет конструктивных особенностей, значительно увеличивается толщина межэтажных перекрытий;
• значительные трудозатраты при изготовлении фермы своими руками, необходимость наличия специального оборудования;
• высокая цена на готовую конструкцию.

Проектирование деревянной ферм

Стены и перекрытия – основные элементы любого строительства.

Назначение перекрытия – разделять этажи в доме, а также нести и распределять нагрузку от расположенных вверху составляющих – стен, крыши, коммуникаций, мебели, деталей интерьера.

Можно выделить несколько видов перекрытия: металлическое, железобетонное и деревянное.

Более подробно остановимся на деревянных перекрытиях, поскольку именно они получили наибольшее распространение в частном строительстве.

Деревянное балочное перекрытие обладает преимуществами и недостатками

Плюсы:

• красивый внешний вид;
• малый вес дерева;
• ремонтопригодность;
• высокая скорость монтажа.

Минусы:

• без специальной защитной пропитки горючи;
• низкая прочность по сравнению с железобетонными или металлическими балками;
• подвержены воздействию влаги, грибка и живых организмов;
• могут деформироваться от перепадов температур.

Материал для деревянных балок перекрытия должен обладать определенными свойствами и соответствовать требованиям:

прочность. Материал перекрытия должен выдерживать возможные нагрузки. Следует учитывать воздействие как постоянных нагрузок, так и переменных;

жесткость. Означает способность материала сопротивляться изгибу;

звуко- и теплоизоляция;

пожарная безопасность.

Как рассчитать необходимое сечение традиционной деревянной балки перекрытия

Прочностные характеристики опорного элемента определяются геометрическими параметрами, – длиной и поперечным сечением. Длина, как правило, даётся из внутренних размеров межстенного пространства и закладывается на стадии проектирования здания. Второй параметр, – сечение, можно изменять в зависимости от предполагаемых нагрузок в процессе строительства.

Пример расчёта

Чтобы избежать достаточно мудрёных математических выкладок, приводим рекомендуемые данные, которые сведены в таблицу. При имеющихся размерах пролёта и шага, можно определить примерное сечение бруса или диаметр бревна. Расчёт осуществлялся исходя из усреднённой нагрузки в 400 кг/м²

Таблица 1

Сечение прямоугольного бруса:

Шаг, метр	Пролёт, метр
2,0	3,0	4,0	5,0	6,0
0,6	75 х 100	75 х 200	100 х 200	150 х 200	150 х 225
1,0	75 х 150	100 х 175	125 х 200	150 х 225	175 х 250

Таблица 2

Диаметр оцилиндрованного бревна:

Шаг, метр	Пролёт, метр
2,0	3,0	4,0	5,0	6,0
0,6	110	140	170	200	230
1,0	130	170	210	240	270

Примечание: В таблицах приведены минимальные допустимые размеры. При проектировании собственного здания, необходимо принимать те размеры деревянных изделий, которые присутствуют на местном строительном рынке региона, причём значения требуется округлять в большую сторону.

Совет. При отсутствии необходимого бруса, его можно заменить досками, скреплёнными между собой посредством столярного клея и саморезов. Ещё один вариант усиления – увеличить сечение бруса, добавив к его боковым сторонам доски определённой толщины.

Совет. Продлить срок службы и снизить показатель горючести поможет обработка специальными огне– и биозащитными средствами. Кроме этого, такая операция способствует небольшому увеличению прочности деревянных изделий.

Совет. Тем, кто всё-таки желает провести математические изыскания, по расчётам деревянных балок, для перекрытий, целесообразно заглянуть в интернет с этим вопросом, — имеется достаточное количество сайтов, на которых выложены электронные калькуляторы по определению параметров элементов силовых конструкций.

Зачем надо рассчитывать?

Вся нагрузка на межэтажное перекрытие, ложится на деревянные балки, поэтому они являются несущими. От прочности балок перекрытия зависит целостность постройки и безопасность находящихся в ней людей.
Производить расчет деревянных элементов необходимо для выяснения допустимой вертикальной нагрузки, действующей на нее. Строительство новой или реконструкция старой постройки без предварительного расчета сечения несет огромный риск.

Выстроенное наугад перекрытие из слабых деревянных балок может в любой момент обрушиться, что приведет к большим финансовым затратам, а еще хуже, к травматизму людей. Взятые с запасом балки большого сечения создадут лишнюю нагрузку на стены и основание постройки.

Кроме определения прочности, существует расчет прогиба деревянных элементов. Он больше определяет эстетичную сторону строения. Даже если крепкая балка перекрытия выдержит припадающий на нее вес, она может прогнуться. Кроме испорченного внешнего вида, прогнувшийся потолок создаст дискомфорт пребывания в такой комнате. По нормам прогиб не должен превышать 1/250 длины балки.

О качестве и прочности деревянных балок перекрытия

Проектировщики в расчётах балок перекрытия закладывают стройматериалы с заданными характеристиками и нормами эксплуатации, опираясь на законы прикладной механики и сопромата. Зная это, возникает вопрос: как обходились без этих знаний строители индивидуальных домов лет сто назад? При этом построенные ими дома здравствуют и поныне.

Объяснение простое: они оставляли намного больший запас прочности используемым материалам. Чуть позже, советские ГОСТы сознательно рассчитывались и утверждались с большими, иногда до 100% запасами прочности. Это неэкономно, иногда громоздко и вычурно, но надёжность была в приоритете, и всегда останется важнейшим показателем в строительстве. Сегодня подобная практика заменяется точным расчетом деревянной балки — это позволяет не переплачивать за излишнюю, невостребованную прочность.

Несущие двутавровые балки перекрытийИсточник orgtorg.org

Сравнение со старыми способами выглядело бы неуместно в описании балок перекрытий, если бы не одно обстоятельство.

Покупая на рынке брус или балку определённого размера, с предварительно рассчитанными характеристиками, частный застройщик без большого опыта зачастую приобретает не тот материал, который гарантирует надёжность.

Балки перекрытияИсточник informer.by

Множество на первый взгляд незначительных нюансов могут свести на нет все расчёты:

• большая влажность;
• безответственное хранение;
• скрытые дефекты;
• пересортица;
• плохие линейные геометрические параметры;
• заранее обусловленные болезни древесины.

Вывод и выход здесь один: рынок всегда попытается обмануть начинающего строителя, поэтому лучший способ сэкономить — это доверить работу профессионалу.

Установка балок перекрытияИсточник lineyka.net

Клееный брус

Для увеличения прочности или величины цельных балок их скрепляют между собой вручную во время монтажа перекрытий. Для этих же целей применяется изготовленный на предприятиях клееный брус. Он состоит из нескольких соединённых между собой брусков. Толщина отдельно взятого элемента регулируется количеством склеенных между собой изделий. Клееный брус получают на заводе методом прессования, его длина достигает 12 м.

Готовые изделия сохраняют характеристики цельных пиломатериалов, в них можно вбивать гвозди без потери прочности или резать на части необходимого размера. Единственным недостатком таких конструкций считается высокая стоимость. Необходимо всё тщательно просчитать перед установкой перекрытия первого этажа по деревянным балкам.

Расчёт нагрузки и размеров деревянных балок

Перед возведением здания необходимо рассчитать нагрузку и длину балочных перекрытий. Для лучшей прочности перекрытия при строительстве нужно использовать деревянные балки с немного большим, чем расчётный, запасом прочности.

Выбор ширины или толщины балки в зависимости от длины

Чтобы правильно произвести расчёт нагрузки на балку перекрытия, нужно:

1. Знать расстояние между стенами и шаг между балками.

2. Вычислить постоянную нагрузку, складывающуюся из массы балок, утеплителя и материалов, из которых изготовлен пол и потолок.

3. Временную нагрузку. К ней относятся масса мебели и находящихся в здании людей. Как правило, её считают равной 150 кг/м2.
4. Высчитать предполагаемую нагрузку на 1 м2 перекрытия (сумма временных и постоянных показателей).

Так как для расчёта требуется знать нагрузку на погонный метр, нужно предполагаемую нагрузку на 1 м2 умножить на расстояние между балками. Далее, полученную цифру умножают на квадрат расстояния между несущими стенами и делят на 8. Так проводят расчёт нагрузки балочного перекрытия.

Mmax = (q*L2)/8

Где:

• q — полная нагрузка на кв. м;
• L2 — квадрат расстояния между стенами.

При проектировании каркаса перекрытия нужно уделить внимание пространственной жёсткости, которая во многом зависит от показателей прогиба балочного перекрытия. Расчёт деревянной балки на прогиб проводят по формуле: W = Mmax / R, где M – максимальная нагрузка, а R – сопротивление древесины из СП 64.13330.2017 от 2017 г

(актуальная редакция СНиП II-25-80). Для древесины 2 сорта её принято считать равной 130 кг/см2

Расчёт деревянной балки на прогиб проводят по формуле: W = Mmax / R, где M – максимальная нагрузка, а R – сопротивление древесины из СП 64.13330.2017 от 2017 г. (актуальная редакция СНиП II-25-80). Для древесины 2 сорта её принято считать равной 130 кг/см2.

Из формулы W = b*h2/6, зная показатель W, вычисляем сечение перекрытия. Достаточно задать одну геометрическую характеристику b (ширину сечения) или h (его высоту).

Прогиб деревянного перекрытия при вычисленной нагрузке не должен быть больше соотношения к длине балки 1:350 для подвальных и межэтажных перекрытий, а для чердачных и мансардных – 1:250.

Размер балок зависит от расстояния между несущими стенами. Для определения необходимой длины балки к этой величине прибавляют 40 см, примерно по 15–20 см с каждой стороны. Профессиональные строители рекомендуют для устройства перекрытия использовать балки с сечением равным 4–5% длины пролёта.

Типы и виды деревянных перекрытий

По предназначению деревянные балки перекрытия разделяются на такие виды:

• подвальное;
• чердачное;
• междуэтажное.

С каждым из подвидов следует ознакомиться более детально.

Подвальное

Конструкция должна обладать высокими показателями прочности, выдерживать значительные усилия, ведь балки будут служить основой для устройства пола. Если в проекте жилого дома предусмотрен подвал или гараж для автомобиля, то деревянные бруски заменяют металлическими несущими конструкциями. Это связано с быстрым разрушением дерева от воздействия высокой влажности. Альтернативным вариантом считается уменьшение расстояния между балками перекрытия и обработка деревянных элементов антисептиком.

Чердачное

Перекрытие устанавливается независимо или является продолжением кровельной стропильной системы. Лучшие технические характеристики у первого варианта. Устраивать независимое перекрытие более рационально, такая конструкция улучшает звукоизоляционные показатели всего дома, считается ремонтопригодной.

Междуэтажное

Конструкция балок перекрытия в каркасном доме имеет свои особенности. Одна сторона деревянного бруса используется в качестве опорных элементов для крепления потолка, вторая (верхняя часть) применяется в качестве лаг для монтажа напольного покрытия. Пространство между балками межэтажного перекрытия заполняют минеральной ватой или другим теплоизоляционным материалом, пароизоляционная мембрана применяется в обязательном порядке. В нижней части пирога закрепляют гипсокартонные листы, сверху застилают дощатый деревянный пол.

Как рассчитать необходимое количество балок

Число поперечных опор определяется нагрузками, приходящиеся на них, и максимальным прогибом чернового покрытия, выполненного, например, из доски или фанеры. На их жёсткость влияет собственная толщина изделий и шаг между точками опоры, то есть, расстояние от соседних балок.

Для помещения с малой эксплуатацией (чердак), допускается использовать доску толщиной не менее 25 мм, при шаге между опорами 0,6–0,75 метра. Межэтажное перекрытие жилой зоны целесообразно осуществлять половой доской с размером не менее 40 мм и расстоянием по ближайшим точкам крепления не более 1 метра.

Пример расчёта

Чердачное пространство. Длина между стенами составляет 5 метров. Слабая эксплуатационная нагрузка, – хранение всякой утвари. Настил осуществляется из обрезной сухой доски хвойных пород толщиной 25 мм. Принимая максимальный шаг в 0,75 метра, количество опорных точек должно составить:

5 м / 0,75 м = 6,67 шт., округляя до целого числа в большую сторону – 7 балок.

Тогда уточнённый шаг равен:

5 м / 7 шт = 0,715 м.

Межэтажное перекрытие. Длина между стенами 5 метров. Первый этаж с максимальной нагрузкой. Черновой пол выполняется из изделия с размером 40 мм. Шаг по опорам принимается в 1 метр.

Количество точек крепления составляет: 5 м / 1 м = 5 шт.

Совет. Несмотря на невысокую нагрузку, приходящуюся на чердачное пространство, целесообразно применять требования, относящиеся к межэтажным перекрытиям, — в будущем может появиться вероятность перестройки в жилое мансардное помещение.

Расчеты

Расчет деревянных балок перекрытия требуется при возведении различных строений, где нужно перекрыть какую-либо площадь, например чердак либо несколько этажей. Только при правильных расчетах можно быть уверенным в надежности и долговечности конструкции.

Требования к деревянным балкам перекрытий

Деревянные балки должны отвечать ряду требований:

• быть стойкими к воздействию огня;
• иметь хорошую прочность и жесткость;
• не иметь больших дефектов и повреждений в структуре древесины;
• сечение должно соответствовать параметрам перекрытия.

К тому же есть требования, которые предъявляются непосредственно к материалу балок. Для рассматриваемых целей предпочтительнее использовать древесину хвойных пород. В ней содержится большое количество смолы, что улучшает стойкость к воздействию различных микроорганизмов. Важным моментом является регион выращивания и время заготовки древесины.

Основные исходные положения для расчета размеров

Поскольку на элементы рассматриваемой конструкции возлагаются несущие функции, то, чтобы выяснить количество и размер бруса для перекрытия, следует придерживаться следующей последовательности действий:

• замеряют пролет, который предполагается перекрывать;
• определяются со способом, которым лаги будут фиксироваться к стене;
• рассчитывают нагрузку, прилагаемую к несущему элементу во время эксплуатации;
• подбирают межбалочное расстояние и сечение согласно табличным данным.

Расчет нагрузки на перекрытие

В течение всего периода эксплуатации лаги должны иметь способность выдерживать не только собственный вес, но и вес пола, расположенную на нем мебель, людей и пр. Поскольку нагрузка на балку определяется типом перекрытия, все расчеты должны быть проведены заранее еще на этапе планирования.

Сперва необходимо учесть вес самих балок. Если взять, например, чердак, для утепления которого будет задействована минеральная вата, то конструкция должна выдерживать нагрузки минимум 50 кг на 1 м² (Рсобств). Для точного расчета нагрузки следует обратиться к нормативным документам.

Определение сечения и шага деревянных балок

Расчет шага укладки бруса на перекрытие можно провести посредством изменения длины балок. Поскольку сечение и длина взаимосвязаны между собой, они и рассчитываются одинаково. Во многих случаях высота лаги зависит от толщины используемого теплоизолятора. Высота может составлять 100-300 мм, а ширина 40-200 мм. Применяя круглое бревно как элемент перекрытия, его диаметр выбирают от 110 до 300 мм.

Что касается шага установки балки, размеры минимального параметра должны составлять 300 мм, максимального – 120 см. В процессе расчета не стоит забывать о ширине теплоизолятора и подшивки. При необходимости совершают подгонку для более простого монтажа. Если возводится каркасное сооружение, то шаг установки балок берут таким же, как промежуток между стойками каркаса дома.

Длина деревянных балок

Длина балок перекрытия определяется характеристиками будущего строения

При проведении вычислений следует принимать во внимание, что длина лаг должна выбираться согласно ширине пролета, который предполагается перекрывать. Поскольку балки входят в стену на определенную длину, для их надежного закрепления к расчетной длине нужно прибавить дополнительную с учетом стеновых материалов:

1. В кирпичную стену лаги заводят на 150 мм.
2. В домах из дерева их углубляют на 70 мм.

Длина бруса может быть такой же, как сам пролет, при условии использования специального крепежа. В этом случае на металлические элементы возлагается весь вес несущей системы и общей нагрузки. Оптимально нужно предусмотреть запас по 200-250 мм для опирания с двух сторон. Исходя из предполагаемой конструкции перекрытия определяют, будут ли лаги выступать через стены наружу. Если это так, то к ним крепят стропила, образуя таким образом скат крыши. При монтаже такой конструкции лаги должны выходить за стену на 300-500 мм.

Определение нагрузки

Перекрытие совместно с находящимися на нем предметами создает деревянным балкам определенную нагрузку. Точно ее высчитать можно только в проектных организациях. Примерный расчет делают калькулятором, пользуясь следующими рекомендациями:

• Чердаки утепленные минватой и подшитые доской отличаются минимальной нагрузкой, примерно 50 кг/м2. Расчет нагрузки выполняют по формуле: значение запаса прочности — 1,3 умножают на показатель максимальной нагрузки — 70.
• Если вместо минваты применяется более тяжелый теплоизолятор и массивная подшивная доска, нагрузка увеличивается в среднем до 150 кг/м2. Определить общую нагрузку можно следующим образом: значение запаса прочности умножается на средний показатель нагрузки и ко всему приплюсовывается размер требуемой нагрузки.
• Делая расчет для мансарды, нагрузку допускают до 350 кг/м2. Это связно с тем, что добавляется вес пола, мебели и др.

С этим определением разобрались, теперь идем далее.

Расчет статически неопределимой балки

Поскольку данная балка является статически неопределимой, для нее нельзя определить внутренние усилия и реакции опор только методами статики (с помощью уравнений равновесия).

Как правило, для таких случаев сначала следует раскрыть статическую неопределимость, используя один из методов:

• метод сил
• метод уравнения трех моментов
• метод интегрирования дифференциального уравнения изгиба

При раскрытии статической неопределимости определяются некоторые параметры (реакции опор либо опорные моменты), имея которые дальнейший расчет уже возможен с помощью уравнений равновесия.

Будем считать, что статическая неопределимость раскрыта и эпюры уже построены

Записываем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на
участках балки
, используя метод сечений

На участке AB: (0 ≤ z₁ ≤ 2 м )

Q(z₁) = + R_A = + 3.074 = 3.074 кН

M(z₁) = + R_A · z = + 3.074 · z

M(0) = 0 кНм

M(2) = 6.149 кНм

На участке BC: (2 ≤ z₂ ≤ 3 м )

Q(z₂) = + R_A — P — q₁·(z — 2) = + 3.074 — 12 — 5·(z — 2)

Q(2) = -8.926 кН

Q(3) = -13.926 кН

M(z₂) = + R_A · z — P·(z — 2) — q₁·(z — 2)2/2 = + 3.074 · z — 12·(z — 2) — 5·(z — 2)2/2

M(2) = 6.149 кНм

M(3) = -5.277 кНм

На участке CD: (3 ≤ z₃ ≤ 4 м )

Q(z₃) = + R_A + R_C — P — q₁·(z — 2) = + 3.074 + 19.5 — 12 — 5·(z — 2)

Q(3) = 5.57 кН

Q(4) = 0.57 кН

M(z₃) = + R_A · z + R_C · (z — 3) — P·(z — 2) — q₁·(z — 2)2/2 = + 3.074 · z + 19.5 · (z — 3) — 12·(z — 2) — 5·(z — 2)2/2

M(3) = -5.277 кНм

M(4) = -2.207 кНм

На участке DE: (4 ≤ z₄ ≤ 5 м )

Q(z₄) = + R_A + R_C — P — Q₁ = + 3.074 + 19.5 — 12 — 10 = 0.57 кН

M(z₄) = + R_A · z + R_C · (z — 3) — P·(z — 2) — Q₁·(z — 3) = + 3.074 · z + 19.5 · (z — 3) — 12·(z — 2) — 10·(z — 3)

M(4) = -2.207 кНм

M(5) = -1.637 кНм

На участке EF: (5 ≤ z₅ ≤ 6 м )

Q(z₅) = + R_A + R_C — R_E — P — Q₁ = + 3.074 + 19.5 — 6.933 — 12 — 10 = -6.363 кН

M(z₅) = + R_A · z + R_C · (z — 3) — R_E · (z — 5) — P·(z — 2) + M — Q₁·(z — 3) = + 3.074 · z + 19.5 · (z — 3) — 6.933 · (z — 5) — 12·(z — 2) + 8 — 10·(z — 3)

M(5) = 6.363 кНм

M(6) = 0 кНм

Максимальный момент в балке составляет M_max = 6.36 кНм. По этому значению
подбираем сечение балки.

Условие прочности при изгибе σ = M_maxW ≤

Отсюда, минимально необходимый момент сопротивления вычисляем по формуле W_min=M_max

Подбираем двутавровое сечение при допускаемом напряжении = 160 МПа
W_min=6360160 = 39.75 см3
Из сортамента выбираем двутавр №12 с моментом сопротивления W = 58.33 см3 и площадью A = 14.7 см2
Максимальные нормальные напряжения в двутавре составляют
σ_max = M_max/Wx = 6360/58.33 = 109.03 МПа
Максимальные касательные напряжения в двутавре (на центральной оси) составляют
τ_max = Q_max×Sx/b×Ix = 13900×29.66×10-6/0.0048×350×10-8 = 24.54×106 Па = 24.54 МПа
Касательные напряжения на границе полки и стенки составляют
τ_max = Q_max×Sx’/b×Ix = 13900×26.33×10-6/0.0048×350×10-8 = 21.785×106 Па = 21.785 МПа,
где статический момент отсеченной полки составляет
Sx’=b×t×(h-t)/2=6.4×0.73×(12-0.73)/2=26.33 см3.
Эпюры нормальных и касательных напряжений для двутавра:

Подбираем прямоугольное сечение с отношением сторон hb=2
W_min=6360160 = 40 см3
Момент сопротивления прямоугольного сечения
W=b×h26 = b3 × 226 = b3×0.67
b3=400.67=60
Ширина сечения b=3.9 см, Высота сечения h=b×2=3.9×2=7.8 см
Площадь сечения A=b×h=3.9×7.8=30.42 см2
Максимальные нормальные напряжения составляют
σ_max = 6×M_max/b×h2 = 6×6360/3.9×7.82 = 160.83 МПа
Максимальные касательные напряжения для прямоугольника составляют
τ_max = 3Q_max/2A = 3×13900/2×30.42×100 = 6.854 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для прямоугольного сечения: